レベルとしては「講義を聞いていれば解ける問題」を想定しています．
問題A.1 以下の $\fbox{?}$ を埋めよ．
<aside> ❔ 定理A.1 関数 $f\in \fbox{?}$ は区分的に $\fbox{?}$ であるとする．このとき任意の $x\in \mathbb{R}$ に対して
$$ f(x)=\lim_{N\to \infty}\sum_{n=-N}^{N}\hat{f}(n)e^{inx} $$
が成り立つ．
証明の方針：
部分積分を用いてフーリエ係数が $\hat{f}(n)=O(\fbox{?})\; (|n|\to \infty)$ を満たすことを示す．
関数 $F\colon \mathbb{T}\to \mathbb{R}$ を
$$ F(x)\coloneqq \lim_{N\to \infty}\sum_{n=-N}^{N}\hat{f}(n)e^{inx} $$
で定める．1 より右辺は $\fbox{?}$ することを利用し，$F\in C(\mathbb{T})$ かつ項別積分ができて $\hat{F}(n)=\hat{f}(n)$ が成り立つことを示す．
2つの関数 $f,g\colon \mathbb{T}\to \mathbb{R}$ のフーリエ係数が一致すれば $f,g$ の $\fbox{?}$ 点 $x$ において $f(x)=g(x)$ が成り立つこを用いて定理の結論を示す． </aside>
問題A.2 関数 $f\colon \mathbb{T}\to \mathbb{R}$ を
$$ f(x)=x^2 \quad (-\pi \leq x \leq \pi) $$
で定める．
区間 $[-3\pi,3\pi]$ 上で $f$ のグラフを描け．
$f$ の複素フーリエ係数 $\hat{f}(n)$ を求めよ．
任意の $x\in \mathbb{R}$ に対して $f(x)$ は
$$ a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n \cos nx $$
の形の級数で表せることを示し，係数 $\{ a_n \}_{n=0}^{\infty}$ を求めよ．
級数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} $$
の値を求めよ．
問題A.3 以下のように定めた関数 $f\colon \mathbb{T}\to \mathbb{R}$ が区分的に$C^1$級かどうかを答えよ．区分的に$C^1$級である場合は証明せよ（そうでない場合は不要）．