以下の2問は練習しておいてほしいです．後は

• 「フーリエ級数の幾何学的な意味」について復習しておいてください．また，しばらくフーリエ級数を計算していないと思うので，簡単なものでよいので計算できるように復習しておいてください．
• 4Qの提出課題を復習しておいてください．

上記の予告内容で3問用意して（配点は85−90点くらい），残り1問は予告なしでやや高度なものにします．

問題1　関数 $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を

$$ f(x)= \begin{dcases} 1 & (0\leq x\leq 1), \\ -1 & (-1\leq x<0), \\ 0 & (|x|>1) \end{dcases} $$

で定める．

（1）$f$ のフーリエ変換 $\hat{f}$ を求めよ．

（2）フーリエの反転公式を用いて $f(1/2)$ を表し，広義積分

$$ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin^3 x}{x}\, dx $$

を求めよ．

（3）合成積 $g=f*f \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を求めよ．

（4）$g$ のフーリエ変換 $\hat{g}$ を求めよ．

答え

問題2　リーマン可積分な関数 $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ で

$$ \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\, dx=\int_{-\pi}^{\pi}f(x)^2\, dx=2\pi $$

を満たすものをすべて求めよ．

ヒント