問4.1
答
（1）
$$ f_{xx}=-y^2 \sin x,\, f_{xy}=f_{yx}=2y\cos x,\, f_{yy}=2\sin x $$
（2）
$$ f_{xx}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2},\, f_{xy}=f_{yx}=-\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2},\, f_{yy}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2} $$
問4.2
答 6通り
問4.3
解答
偏微分を計算すると
$$ f_{xx}=-f_{yy}=2\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} $$
が出てくるので，ここから従う．
問4.4
解答
偏微分を計算すると
$$ u_t=u_{xx}=-a^2 u $$
が出てくるので，ここから従う．