区分的に$C^k$級の定義

定義1.7で混乱している人が多いので，講義ノートに記載している定義を再掲しておきます．（もしかしたら私が黒板に書き間違えたかも？）

定義1.7　関数 $f\colon \mathbb{T}\to \mathbb{R}$ が区分的に$C^k$級とは，有限個の点

$$ -\pi=a_0<a_1<\cdots<a_m<a_{m+1}=\pi $$

で次の条件を満たすものが存在することをいう：

1. すべての $i=0,1,\dotsc,m+1$ に対し，右側および左側極限 $f(a_i+0)$，$f(a_i-0)$ が存在し，

2. 区間 $[a_i,a_{i+1}]$ 上の関数

   $$ f_i(x)= \begin{dcases} f(x) & (a_i<x<a_{i+1}), \\ f(a_i+0) & (x=a_i), \\ f(a_{i+1}-0) & (x=a_{i+1}) \end{dcases} $$

   は$C^k$級である．

注意

• $m=0$ も可．
• 例えば条件1で $i=0$ としたものは，右側および左側極限 $f(-\pi+0)$，$f(-\pi-0)$ の存在を要求している．ここで $f(-\pi-0)$ は区間 $[-\pi,\pi]$ の外からの極限であるが，$f$ は $\mathbb{R}$ 全体で定義されていることに注意．
• 条件2で「区間 $[a_i,a_{i+1}]$ 上の関数 $f_i$ は $C^k$級」とある．閉区間 $[a_i,a_{i+1}]$ を考えているので，$f'$ の $x=a_i$ および $x=a_{i+1}$ での値は右側微分および左側微分で定義する．そうやって$k$階までの導関数を定義し，それが $[a_i,a_{i+1}]$ 上で連続であることを要求している．
  • 開区間 $(a_i,a_{i+1})$ ではないので，端点で微分が発散したりしてはダメ．