日本語訳が末尾にあります．

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• Course aim

  • To explain some important ideas in the analysis of PDEs such as:
    • Construct and analyze solutions to difficult PDEs by solving easier ones;
    • introduce appropriate function spaces and norms;
    • use a priori estimates, in particular, energy estimates to control sequences of approximate solutions;
    • use appropriate notions of generalized solutions.

• Where do PDEs appear?

  • Examples of PDEs from various disciplines are shown.

  • For the numerical examples, see:

    Google Colaboratory

    Codes are written in Julia.

• What is difficult about PDEs?

  • The fundamental difficulty is that we don’t usually have simple solution formulae.
    • This is even so for algebraic equations. But for PDEs/ODEs, we need to find solutions in inifinite dimensional spaces.
    • Compared to ODEs, in princple, PDEs are more difficult. This was seen by an example.

• How to solve PDEs? (Trailor for the 1Q lectures)

  • One approach is to:
    1. Construct approximate solutions as solutions to “solvable PDEs” and take limits;
    2. prove a priori estimates to show convergence of approximate solutions.
       • A simple example of “energy estimates” is provided.

§1

• Linear diffusion equation $u_t=u_{xx}$
  • Derivation
  • Solution method using Fourier transforms
  • Proving positivity of solutions using the heat kernel or the maximum principle
    • Explicit formulae imply strong claims with simple proofs. But nonlinear equations don’t usually have simple solution formulae and more subtle methods using the structure of equations are needed.

§2.1

• Warm-up: solving nonlinear ODEs
  • Proof of Local-in-time solvability of ODEs is reviewed.
    • We need two ingradients: boundedness of approximate solutions & show that its Caucy in some function spaces.
  • Examples of finite-time blow-up and global-in-time existence are given.
  • A priori estimates through energy estimates
  • Global-in-time existence by extending local-in-time solutions
    • Duffing’s equation as an example

§2.2

• Solving the nonlinear diffusion equation $u_t=u_{xx}+\alpha |u|^{p-1}u$
  • Setting up function spaces to define the notion of mild solutions
    • $L^2(\mathbb{R})$, $C([0,T];X)$
    • Integrals of Banach space-valued functions
  • Sobolev spaces $H^k(\mathbb{R})$ and Sobolev’s inequalities
    • We need Sobolev’s inequalites to handle the nonlinearity in the $L^2$-framework.
  • Proved the local-in-time solvability theorem with an iteration scheme.
    • The proof is very similar to that for ODEs. Additional ingredients for our PDE are good estimates for the operator $e^{t\partial_{x}^{2}}$ and also Sobolev inequalities.
  • Proved a priori estimated by the energy method. The method is simple: multiply some functions to the equation and take integrals.
    • The fundamental tool is integration by parts. The usefulness of integration by parts in analysis is astonishing.
  • Proved a global-in-time solvability theorem combining the local-in-time result and the a priori estimate.
  • Some additional topics are discussed.
    • Global-in-time existence theorem when $\alpha>0$ with small initial data
    • Non-existence of global-in-time solutions when $1<p<3$ </aside>

以下，日本語訳です．AI生成したものを簡単に監修しただけなので，言葉遣いが多少不自然です．

§0

• コースの目的

  • PDEの解析における重要な考え方を説明すること、例えば：
    • 簡単なPDEを解いて困難なPDEの解を構築し、解析すること
    • 適切な関数空間とノルムを導入すること
    • アプリオリ評価、とくにエネルギー評価を用いて、近似解の列をコントロールすること
    • 適切な一般化解の概念を用いること

• PDEはどこに現れるか？

  • さまざまな学問分野からのPDEの例が示されます。

  • 数値例については、以下を参照してください。

    Google Colaboratory

    コードはJuliaで書かれています。

• PDEで困難なことは何ですか？

  • 基本的な困難は、通常単純な解の公式がないことです。
    • これは代数方程式に対しても同様です。ただし、PDE / ODEでは、無限次元空間内で解を見つける必要があります。
    • ODEに比べて、原則としてPDEはより困難です。これは例によって示されました。

• PDEを解く方法（1Qレクチャーの予告）

  • 1つのアプローチは、次のとおりです。
    1. 「解けるPDE」の解として近似解を構築し、極限を取る。
    2. 近似解の収束を示すためにアプリオリ評価を証明する。
       • 「エネルギー評価」の単純な例

§1

• 線形拡散方程式 $u_t = u_{xx}$
  • 導出
  • フーリエ変換を用いた解法
  • 熱核または最大原理を用いた解の正値性の証明
    • 明示的な式は、単純な証明で強い主張を与えます。ただし、非線形方程式には通常単純な解の公式がなく、より巧妙な方程式の構造を使用した方法が必要です。

§2.1

• 非線形ODEの解法
  • ODEの時間局所的解の証明が見直されます。
    • 近似解の有界性と、適切な関数空間でのCaucy性を示す必要があります。
  • 有限時間のブローアップと時間大域的な存在の例が与えられます。
  • エネルギー評価によるアプリオリ評価
  • 時間局所解を拡張することで時間大域的な存在を示す

§2.2

• 非線形拡散方程式 $u_t=u_{xx}+\alpha|u|^{p-1}u$ を解く