日本語訳が末尾にあります．
<aside> 📝 §0
As examples of PDEs, we gave
As is seen in numerical examples below, nonlinear equations exhibit more complex phenomena than linear ones.
There are many general methods and tools to study linear PDEs (see for example [Ev10, §2]). On the other hand, tools to investigate nonlinear PDEs are often developed specific to each equation.
Many equations in nature are nonlinear. Linear equations can be seen as their simplification so that strong mathemtical tools such as Fourier transforms can be used.
As an example of a priori estimates, we explained energy estimates. Note that energy estimates are not the only way to prove a priori estimates (the maximum principle is another way to prove a priori estimates). There are variety of other ways and their investigation is a main topic in the analysis of PDEs. We need understandings of mathematical structures, physical intuition, and drastic ideas.
§1
§2.1
Theorem 2.1: What we proved is that the map
$$ T(u)(t)\coloneqq u_0+\int_{0}^{t}f(u(s))\, ds $$
has a fixed point, that is, a vector $u$ satisfying $T(u)=u$. Existence of solutions in many cases can be formulated as fixed point problems; see [増田85, §2] for example. This topic explained in more detail by Professor Kagei in 3Q & 4Q.
Existence of solutions for Duffing’s equation was not so difficult. However, there are many interesting features of Duffing’s equation to be investigated (chaos for example). See https://en.wikipedia.org/wiki/Duffing_equation.
§2.2
There are other ways to define Sobolev spaces. For example, the Sobolev space $H^1(\mathbb{R})$ can be defined as
$$ H^1(\mathbb{R})\coloneqq \{ u\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} \mid \text{$u$ is absolutely continuous and $u'\in L^2(\mathbb{R})$} \}. $$
See [宮島, §3] or [Le17, §3] for details. Note that absolutely continuous functions are differentiabl almost everywhere. In any case, elements in $H^1(\mathbb{R})$ are functions differentiable in some generalized sense and whose first-order derivative is in $L^2(\mathbb{R})$.
We defined the notion of mild solutions. This is an example of generalized solutions since the solution may not be differentiable in $x$ (it is only differentiable a.e.). However, if the initial data $u_0 \in L^2(\mathbb{R})$ is more differentiable, for example in $C_{0}^{\infty}(\mathbb{R})$, we can show that the mild solution satisfies the equation in the usual sense (the classical solution). The differentiability (”regularity”) of genelarized solutions are an important topic in the analysis of PDEs.
We discussed in Theorem 2.21 in LectNote06 that when $1<p<2$ and $\alpha=1$, there cannot exist a global-in-time non-negative solution to
$$ u_t=u_{xx}+u^p \quad \text{in $\mathbb{R}\times (0,\infty)$}. $$
Our proof actually does not show blow-up of the solution; it only shows that the solution looses either (i) the non-negativity, (ii) regularity, or (iii) integrability so that our computations are no longer valid. However, using the maximum principle, we can actually show that $\| u(t) \|_{L^{\infty}}$ blows-up in finite time. See [柳田15, Theorem 3.2].
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以下，日本語訳です．AI生成したものを簡単に監修しただけなので，言葉遣いが多少不自然です．
§0
PDEの例として、次のものを挙げた。
下記の数値例でわかるように、非線形方程式は線形方程式よりも複雑な現象を示す。
線形PDEを研究するための一般的な方法やツールは多数存在するが（たとえば [Ev10、§2] を参照）、非線形PDEを調べるためのツールは、しばしば各方程式に特化して開発される。
自然現象の多くは非線型方程式でモデリングされる。線形方程式は、これらをフーリエ変換などの強力な数学的ツールを使用できるように単純化したものと見なすことができる。
アプリオリ評価の例として、エネルギー評価を説明しました。「エネルギー評価はアプリオリ評価を得るための唯一の方法ではない」ことに注意してください（例えば最大値原理は別の方法です）。 様々な方法があり、その研究はPDEの数学解析の主要なトピックです。数学的構造、物理的直感、および斬新なアイデアが必要です。
§1
§2.1
定理2.1：私たちが証明したのは、マップ
$$ T(u)(t)\coloneqq u_0+\int_{0}^{t}f(u(s))\, ds $$
が不動点を持つこと、つまり、$T(u)=u$ を満たすベクトル $u$ が存在することです。 解の存在は、多くの場合、不動点の問題として定式化できます（例えば [増田85、§2] を参照）。 このトピックは、3Q＆4Qの隠居先生の講義でより詳しく説明されます。
Duffing方程式の解の存在はそれほど難しくありませんでした。しかし、Duffing方程式には他に多くの興味深い性質があります（例えばカオス）。https://en.wikipedia.org/wiki/Duffing_equation を参照してください。
§2.2
ソボレフ空間を定義する他の方法があります。 たとえば、Sobolev空間 $H^1(\mathbb{R})$ は以下のように定義されます。
$$ H^1(\mathbb{R})\coloneqq \{ u\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} \mid \text{$u$は絶対連続であり、$u'\in L^2(\mathbb{R})$} \}. $$
詳細は [宮島、§3] または [Le17、§3] を参照してください。絶対連続な関数はほとんど至るところで微分可能であることに注意してください。いずれにせよ、$H^1(\mathbb{R})$ の要素は、一般化された意味で微分可能な関数であり、その微分が $L^2(\mathbb{R})$ に属するものである。
私たちは穏やかな解の概念を定義しました。これは一般化された解の例であり、解は $x$ で微分可能でない場合があります（ほとんど至るところでは微分可能です）。ただし、「初期データ $u_0\in L^2(\mathbb{R})$ がより滑らかである場合、たとえば $C_{0}^{\infty}(\mathbb{R})$ の場合、穏やかな解が通常の意味で方程式を満たすことを示すことができます（古典的な解）。一般化された解の微分可能性（ "正則性"）は、PDEの数学解析の重要なトピックです。