1. 黒板では以下を示した：
$$ \| \partial_{x}^{j}u(t) \|_{L^2}\leq 3E_0(t+1)^{-(1+2j)/4} \quad (0\leq t\leq T_0,j=0,1). \qquad (*) $$
ある $\delta>0$ に対して不等式 (*) が $0\leq t\leq T_0+\delta$ まで成り立つことを示し，矛盾を導きたい，ここで $\delta$ は $T_0$ に依存してもよいことに注意しておく．
2. 上記の目標のために，定理2.15を初期値 $u(T_0)$ に対し，$M=\| u(T_0) \|_{H^1}$ として用いる．すると (2.7) の mild solution $\tilde{u}\in C([0,\delta];H^1)$ がある $\delta=\delta(M)>0$ に対して一意的に存在することが分かる．また，定理2.15では不等式
$$ \| \tilde{u}(t) \|{H^1}\leq 2M=2\| u(T_0) \|{H^1} \quad (0\leq t\leq \delta) $$
が成り立つことも述べていた．しかし定理2.15の証明を少し変えると，$F(u)=\alpha |u|^{p-1}u$ のときは，任意の $c>0$ に対して $\delta=\delta(M)>0$ を十分小さく取れば，
$$ \| \partial_{x}^{j}\tilde{u}(t) \|{L^2}\leq (1+c)\| \partial{x}^{j}u(T_0) \|_{L^2} \quad (0\leq t\leq \delta,j=0,1) \qquad (**) $$
が成り立つことも分かる．そこで (*, **) を用いると，
$$ \| \partial_{x}^{j}\tilde{u}(t) \|_{L^2}\leq (1+c)3E_0(T_0+1)^{-(1+2j)/4} \quad (0\leq t\leq \delta) $$
を得る．ここで任意の $c'>0$ に対して $\delta=\delta(T_0)>0$ を十分小さく取れば
$$ (1+T_0)^{-(1+2j)/4}\leq (1+c')(1+t)^{-(1+2j)/4} \quad (0\leq t\leq \delta) $$
が成り立つことに注意すると，$\delta$ を $M,T_0$ に依存して十分小さく取るとき
$$ \| \partial_{x}^{j}\tilde{u}(t) \|_{L^2}\leq 6E_0(t+1)^{-(1+2j)/4} \quad (0\leq t\leq \delta) \quad (***) $$
を得る．
3. 解の一意性から
$$ u(t)=\tilde{u}(t-T_0) \quad (T_0 \leq t\leq T_0+\delta) $$
であることに注意すると，(***) より
$$ \| \partial_{x}^{j}u(t) \|_{L^2}\leq 6E_0(t+1)^{-(1+2j)/4} \quad (0\leq t\leq T_0+\textcolor{red}{\delta},j=0,1) $$
が成り立つことが分かる．これは $T_0$ の定義に矛盾している．