Lecture 6

• 講義ノートThm2.22の証明が, 1<p<3でなくても成立するような気がします。特にp<3はどこで効いてくるのでしょう？

  • 計算すると

    $$ \eta(0)^{p-1}>\frac{1}{2s} $$

    という条件が出てくると思います．これは

    $$ \frac{1}{\sqrt{4\pi s}}\int_{\mathbb{R}}u_0(x)e^{-\frac{x^2}{4s}}\, ds\geq \frac{\sqrt{4\pi}}{2^{p-1}}s^{-\frac{3-p}{2(p-1)}} $$

    と同値です．任意の有界閉区間 $I$ に対して，左辺は $s$ を十分大きくするとき

    $$ \frac{1}{\sqrt{4\pi s}}\int_{\mathbb{R}}u_0(x)e^{-\frac{x^2}{4s}}\, ds\geq \int_{I}u_0(x)\, dx $$

    と下から評価でき，右辺は $1<p<3$ のとき $s\to \infty$ でゼロに収束します．この最後の部分で $1<p<3$ を用います．