$u_0 \in H_{0}^{1}(\Omega)$ が $I[u]=\int_{\Omega}(|\nabla u|^2/2-uf)\, dx$ の最小値を与える点であるとする．このとき任意の $v\in H_{0}^{1}(\Omega)$ に対して1変数関数

$$ \mathbb{R}\ni \delta \mapsto F(\delta)=I[u_0+\delta v]-I[u_0]\in \mathbb{R} $$

は $\delta=0$ で最小値を取る．ここで

$$ \begin{aligned} F(\delta) & =\int_{\Omega}\{ |\nabla u_0+\delta \nabla v|^2/2-(u_0+\delta v)f \}\, dx-\int_{\Omega}(|\nabla u_0|^2/2-u_0 f)\, dx \\ & =\delta^2 \int_{\Omega}|\nabla v|^2/2\, dx+\delta \left( \int_{\Omega}\nabla u_0 \cdot \nabla v-vf \right)\, dx \end{aligned} $$

と計算できるから，

$$ \int_{\Omega}\nabla u_0 \cdot \nabla v-vf\, dx=0 $$

であることが分かる．これが示したかったことである．

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