答　（1）$5/3$　（2）$2\pi\{ (b^2-1)e^{b^2}-(a^2-1)e^{a^2} \}$

解答

（1）新しい変数

$$ u=x+y, \quad v=x-2y $$

を導入する．点 $(x,y)$ が領域 $D$ を動くとき $(u,v)$ は領域

$$ E=\{ (u,v) \mid 1\leq u\leq 2,\, 0\leq v\leq 2 \} $$

を動く．上の変換を $x,y$ について解くと

$$ x=\frac{2u+v}{3}, \quad y=\frac{u-v}{3} $$

となり，そのヤコビアンは

$$ J(u,v)=-\frac{1}{3} $$

である．また，$2x-y=u+v$ である．従って定理7.1より（ヤコビアンの絶対値を忘れないこと！）

$$ \iint_D(2x-y)\, dxdy=\iint_E \frac{(u+v)}{3}\, dudv=\frac{1}{3}\int_{0}^{2}\int_{1}^{2}(u+v)\, dudv=\frac{5}{3} $$

と計算できる．

（2）3次元極座標変換，演習プリントの式 (3)，を用いる．変数 $(x,y,z)$ が領域 $D$ を動きとき，変数 $(r,\theta,\phi)$ は領域

$$ E=\{ (r,\theta,\phi) \mid a\leq r\leq b,\, 0\leq \theta \leq \pi,\, 0\leq \phi \leq 2\pi \} $$

である．よって定理7.2より

$$ \begin{align*} \iint_D \sqrt{x^2+y^2+z^2}e^{x^2+y^2+z^2}\, dxdydz & =\int_{\phi=0}^{2\pi}\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=a}^{b}re^{r^2}r^2 \sin \theta\, drd\theta d\phi \\ & =4\pi\int_{a}^{b}r^3 e^{r^2}\, dr \end{align*} $$

と計算できる．右辺の積分は部分積分を2回行うと計算できる．1回目の部分積分は

$$ \int_{a}^{b}r^3e^{r^2}\, dr=\int_{a}^{b}\frac{r^2}{2}(e^{r^2})'\, dr=\frac{1}{2}(b^2 e^{b^2}-a^2 e^{a^2})-\int_{a}^{b}re^{r^2}\, dr $$