提出課題だけでは物足りない人のために練習問題を掲載しています．解答を掲載する予定はありませんが，質問はもちろん大歓迎ですし，解答を提出してくれれば採点します．
問題1（演習書 [1] 問題33に解答あり）
関数 $f\colon \mathbb{T}\to \mathbb{R}$ を
$$ f(x)=\cos \alpha x \quad (-\pi \leq x\leq \pi) $$
で定める．ただし $0<|\alpha|<1$ とする．
（1）$f$ のフーリエ級数を計算することで，$\cot \alpha \pi=\cos \alpha \pi/\sin \alpha \pi$ を級数で表せ．
（2）次の極限が存在することを示せ：
$$ \lim_{N\to \infty}\prod_{n=1}^{N}\left( 1-\frac{\alpha^2}{n^2} \right). $$
（2）小問（1）の級数を項別積分し，オイラーの無限乗積公式
$$ \sin \alpha \pi=\pi \alpha \lim_{N\to \infty}\prod_{n=1}^{N}\left( 1-\frac{\alpha^2}{n^2} \right) $$
を示せ．
問題2 赤字部分は訂正です．指摘してくれた方ありがとうございました．
関数 $f\in C^k(\mathbb{T})$ ($k\geq 2$) に対して，ある定数 $C>0$ が存在し，不等式
$$ \max_{x\in [-\pi,\pi]}|f(x)-S_N(f)(x)|\leq C|\textcolor{red}{N}|^{-(k-1)} \quad (\textcolor{red}{N\geq 1}) \qquad (*)
$$
が成り立つことを以下の手順で示せ．ここで $S_N(f)(x)=\sum_{n=-N}^{N}\hat{f}(n)e^{inx}$ である．
（1）ある定数 $C>0$ が存在し，任意の $x\in [-\pi,\pi]$ に対して不等式
$$ |S_M(f)(x)-S_N(f)(x)|\leq C\sum_{n=N+1}^{M}n^{-k} \quad (M>N\geq 1) $$
が成り立つことを示せ．
（2）不等式
$$ \sum_{n=N+1}^{M}n^{-k}\leq \frac{1}{k-1}\cdot \frac{1}{N^{k-1}} \qquad (M>N\geq 1) $$
を示せ（ヒント：積分との比較）．
（3）小問（1, 2）と $f\in C^2(\mathbb{T})$ に対するフーリエ級数の収束定理を用いて不等式 (*) を示せ．
コメント：このように関数が滑らかなほどフーリエ級数は速く収束する．