答　（1）$e^2-3/2$　（2）$2/105$

解答

（1）領域 $D$ を図示すると下図のようになる：

よって定理2.1を用いると

$$ \begin{align*} \iint_D xe^y\, dxdy & =\int_{-1}^{2}\int_{0}^{|x|}xe^y\, dydx \\ & =\int_{-1}^{0}\int_{0}^{-x}xe^y\, dydx+\int_{0}^{2}\int_{0}^{x}xe^y\, dydx \\ & =\int_{-1}^{0}(xe^{-x}-x)\, dx+\int_{0}^{2}(xe^x-x)\, dx \end{align*} $$

と計算できる．後は部分積分を用いて

$$ \int_{-1}^{0}(xe^{-x}-x)\, dx=[-xe^{-x}-e^{-x}-x^2/2]_{-1}^{0}=-1/2 $$

などと計算すればよい．

（2）領域 $D$ を図示すると下図のようになる：

このことは $f(x)=(1-\sqrt{x})^2$ の増減表を描けば分かる．$D$ を $y$軸に平行な直線で切って

$$ D=\{ (x,y) \mid 0\leq x\leq 1,\, 0\leq y\leq (1-\sqrt{x})^2 \} $$

と表し，定理2.1を用いると次のように計算できる：

$$ \begin{align*} \iint_D y^{3/2}\, dxdy & =\int_{0}^{1}\int_{0}^{(1-\sqrt{x})^2}y^{3/2}\, dydx \\ & =\int_{0}^{1}\frac{2}{5}(1-\sqrt{x})^5\, dx \\ & =\int_{0}^{1}\frac{4}{5}(1-t)t^3\, dt=\frac{2}{105}. \end{align*} $$

ここで置換積分 $t=1-\sqrt{x}$ を用いた．

答　$2/\pi$

解答　領域