1️⃣

<aside> 📝

次の広義積分を計算せよ．

$$ (1) \quad \int_{-\infty}^{1}e^{2x}\, dx \qquad (2) \quad \int_{0}^{\infty}e^{-x}\cos x\, dx $$

</aside>

答　（1）$e^2/2$　（2）$1/2$

解答

（1）実数 $c<1$ に対して

$$ \int_{c}^{1}e^{2x}\, dx=\frac{1}{2}\left( e^2-e^{2c} \right) $$

と計算できるので，ここで極限 $c\to -\infty$ を取ればよい．

（2）実数 $0<c$ に対して，部分積分を2回用いて

$$ \begin{align*} I_c & =\int_{0}^{c}e^{-x}\cos x\, dx \\ & =e^{-c}\sin c+\int_{0}^{c}e^{-x}\sin x\, dx \\ & =e^{-c}\sin c+1-e^{-c}\cos c-I_c \end{align*} $$

と計算できる．よって

$$ I_c=\frac{1}{2}\left( e^{-c}\sin c+1-e^{-c}\cos c \right) $$

となり，ここで極限 $c\to \infty$ を取ればよい．

2️⃣

<aside> 📝 次の広義積分が収束するかどうかを判定せよ．

$$ （1）\qquad \int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^3}} \qquad \qquad （2）\qquad \int_{0}^{1}\frac{\sin x}{x}\, dx $$

</aside>

答　（1）収束する（2）収束する 解答

（1）不等式

$$ \frac{1}{\sqrt{1-x^3}}=\frac{1}{\sqrt{1+x+x^2}\sqrt{1-x}}\leq \frac{1}{\sqrt{1-x}} $$

より，$g(x)=1/\sqrt{1-x}$ として定理2.2を用いればよい．

（2）不等式

$$ |\sin x|\leq x $$