1️⃣

<aside> 📝 次の関数の高階偏導関数 $f_{xx},f_{xy},f_{yx},f_{yy}$ を求めよ．

$$ (1) \quad f(x,y)=x^2+y^2 \qquad (2) \quad f(x,y)=\tan(xy) $$

</aside>

答

$$ (1) \quad f_{xx}=f_{yy}=2, \quad f_{xy}=f_{yx}=0 $$

$$ (2) \quad f_{xx}=2\frac{y^2 \sin(xy)}{\cos^3(xy)}, \quad f_{xy}=f_{yx}=\frac{1}{\cos^2(xy)}+2\frac{xy\sin(xy)}{\cos^3(xy)}, $$

$$ f_{yy}=2\frac{x^2 \sin(xy)}{\cos^3(xy)} $$

2️⃣

<aside> 📝 マクスウェルの関係式に関する問題（演習プリントを参照）

</aside>

解答

関数 $G$ の導関数が連続であれば $\partial_{pT}G=\partial_{Tp}G$ が成り立つ．従って

$$ \partial_p S=\partial_p(-\partial_T G)=-\partial_T(\partial_p G)=-\partial_T V $$

が成り立つ．

3️⃣

<aside> 📝 次の関数に対して $\Delta f=\partial_{xx}f+\partial_{yy}f$ を計算せよ．

</aside>

答

$$ （1）\quad 0 \qquad （2）\quad (a^2-b^2)f $$

4️⃣

<aside> 📝

関数 $f(x,t)=g(x+at)+h(x-at)$ は次の偏微分方程式

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial t^2}=a^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} $$

を満たすことを示せ．

</aside>

解答

合成関数の微分法より