1️⃣

<aside> 📝 次の関数の偏導関数 $f_x(x,y),f_y(x,y)$ を求めよ．

$$ (1) \quad f(x,y)=\frac{2x+y}{x+2y} \qquad \qquad (2) \quad f(x,y)=x^2 y^2 e^{xy} $$

</aside>

答

$$ (1) \quad f_x=\frac{3y}{(x+2y)^2},f_y=-\frac{3x}{(x+2y)^2} $$

$$ (2) \quad f_x=xy^2 e^{xy}(xy+2),f_y=x^2 ye^{xy}(xy+2) $$

2️⃣

<aside> 📝 振り子と重力加速度の問題（演習プリントを参照）

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解答　振り子の周期 $T$ に関する公式を $g$ について解くと

$$ g=4\pi^2 \frac{l}{T^2} $$

が得られる．そこで $g(l,T)=4\pi^2 l/T^2$ と定めると，その偏微分は

$$ g_l=4\pi^2 \frac{1}{T^2}, \quad g_T=-8\pi^2 \frac{l}{T^3} $$

と計算できる．また，$g(l',T')$ は $l',T'\approx l,T$ のとき

$$ g(l',T')\approx g_l(l,T)(l'-l)+g_T(l,T)(T'-T)+g(l,T) $$

と近似できる．ここで $l'=l+\Delta l,T'=T+\Delta T$ を代入すると

$$ \Delta g=g(l+\Delta l,T+\Delta T)-g(l,T)\approx 4\pi^2 \frac{\Delta l}{T^2}-8\pi^2 \frac{l\Delta T}{T^3} $$

となる．そして両辺を $g=4\pi^2 l/T^2$ で割れば結論が得られる．

3️⃣

<aside> 💡 理想気体のエントロピーに関する問題（演習プリントを参照）

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解答　（1）体積 $V$ と温度 $T$ の関数とみるとき，エントロピー $S$ と圧力 $p$ は

$$ S(V,T)=\alpha \log T+R\log V+R, \quad p(V,T)=R\frac{T}{V} $$