1️⃣

<aside> 📝 次の関数を微分せよ．

$$ (1) \quad \mathrm{Cos}^{-1}\sqrt{x} \qquad \qquad (2) \quad \cos(\mathrm{Sin}^{-1}x) $$

</aside>

答

$$ (1) \quad -\frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}} \qquad \qquad (2) \quad -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} $$

2️⃣

<aside> 📝 写像 $x^3+x\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ の逆写像を $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ とおく．$f'(2)$ を計算せよ．

</aside>

答　$1/4$

解答　写像 $x^3+x\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を $g$ とおくと $f=g^{-1}$ である．ここで $f(2)=g^{-1}(2)=1$ に注意しておく．すると，逆関数の微分法より

$$ \begin{align*} f'(2) & =\frac{1}{g'(y)} \qquad (y=f(2)=1) \\ & =\frac{1}{3y^2+1}=\frac{1}{4} \end{align*} $$

と計算できる．

3️⃣

<aside> 💡 次の有理関数の不定積分を計算せよ．

$$ (1) \quad \frac{x^3}{x^2-3x+2} \qquad \qquad (2) \quad \frac{1}{(x-1)^2(x^2+1)} $$

</aside>

答

$$ (1) \quad \frac{1}{2}x(x+6)-\log|x-1|+8\log|x-2| $$

$$ (2) \quad \frac{1}{4}\left( \log(x^2+1)-\frac{2}{x-1}-2\log|x-1| \right) $$

解答　（1）分母の次数が分子より小さくなっていないので，まずは割り算をして

$$ \frac{x^3}{x^2-3x+2}=x+3+\frac{7x-6}{x^2-3x+2} $$

と変形しておく．因数分解 $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ に注意して，右辺第2項を次のように部分分数分解する：

$$ \frac{7x-6}{x^2-3x+2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}. $$

係数 $A,B$ は両辺に $x-1$ あるいは $x-2$ を掛けて，$x=1$ あるいは $x=2$ を代入することで求まる：