1️⃣

<aside> 📝 次の値を求めよ

$$ (1) \quad \mathrm{Sin}^{-1}\left( \tan \frac{\pi}{4} \right) \qquad (2) \quad \tan \left( \mathrm{sin}^{-1}\frac{1}{5} \right) $$

</aside>

答　（1）$\pi/2$　（2）$1/(2\sqrt{6})$

解答

（1）これは $\tan(\pi/4)=1$ に注意すれば簡単である．

（2）最終的に $\sin(\mathrm{Sin}^{-1}x)=x$ を用いたい．そこで $\tan x$ を $\sin x$ で表せればよいが，実際

$$ \tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}-1=\frac{1}{1-\sin^2 x}-1 $$

と表せる．よって一般に

$$ \tan^2(\mathrm{Sin}^{-1}x)=\frac{1}{1-x^2}-1=\frac{x^2}{1-x^2} \quad (-1<x<1) $$

が成り立つ．符号に注意して平方根を取れば

$$ \tan(\mathrm{Sin}^{-1}x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \quad (1<x<1) $$

である．求める値はこれを用いて計算すればよい（以下略）．

2️⃣

<aside> 📝 次の等式を示せ．

$$ \begin{align*} & (1) \quad \mathrm{Sin}^{-1}x+\mathrm{Cos}^{-1}x=\pi/2 \quad (-1\leq x\leq 1) \\ & (2) \quad \mathrm{Tan}^{-1}(1/2)+\mathrm{Tan}^{-1}(1/3)=\pi/4 & \end{align*} $$

</aside>

解答

（1）等式の左辺を $y$ とおくと，加法定理より

$$ \begin{align*} \sin y & =\sin(\mathrm{Sin}^{-1}x+\mathrm{Cos}^{-1}x) \\ & =\sin(\mathrm{Sin}^{-1}x)\cos(\mathrm{Cos}^{-1}x)+\cos(\mathrm{Sin}^{-1}x)\sin(\mathrm{Cos}^{-1}x) \\ & =x^2+\sqrt{1-x^2}\cdot \sqrt{1-x^2}=1 \end{align*} $$

と計算できる．さらに $-\pi/2\leq \mathrm{Sin}^{-1}x\leq \pi/2$ と $0\leq \mathrm{Cos}^{-1}x\leq \pi$ に注意すると

$$ -\pi/2\leq y\leq 3\pi/2 $$

が分かる．この範囲の $y$ で $\sin y=1$ を満たすものは $y=\pi/2$ しかない．