• まず第一に，フーリエ級数展開は不連続点ではほとんどの場合に失敗します．定理1.7などで $f$ に連続性を課すのは，このような事態を避けるためです．「どんな関数でも」とフーリエは言ったらしいですが，さすがに現代数学の意味での「関数」すべてを表すことはできません．連続性など，多少 $f$ にはお利口さんでいてもらわないと困ります．
  • ただし，収束の意味を弱めると，フーリエ級数展開できる関数はどんどん増えていきます．例えば $f$ とフーリエ級数の一致を「各点で」から「ほとんどすべての点で」に置き換えると，もはや連続でなくても可積分でありさえすればよくなります（証明は激ムズです）．このように**「収束の強さ」と「適用できる関数の広さ」はトレード・オフの関係**にあります．

（以下の部分は難しいので分からなくても気にしないでください．）

• 第二に，「係数をフーリエ係数とは異なるものに適切に取り替えて，$f$ を三角級数の各点収束極限として表すことはできるのでしょうか？」という質問についてですが，

  $$ \begin{equation} f(x)=\lim_{N\to \infty}\sum_{n=0}^{N}(a_{n}^{(N)}\cos nx+b_{n}^{(N)}\sin nx) \end{equation} $$

  のように，係数を $N$ に応じて変更してよいなら可能です．そうでなく

  $$ f(x)=\lim_{N\to \infty}\sum_{n=0}^{N}(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx) $$

  と表せるかについては，私はまだ分かっていません．多分ムリなんじゃないかと思います．

  • (1) の証明：以下，$f$ は $2\pi$-周期的であるとします．まず $f$ を $2\pi$-周期的な連続関数 $(f_k)_{k=1}^{\infty}$ の各点収束極限として表します（どうすればよいか考えてみてください）．次に，連続関数 $f_k$ を

    $$ p_{k,j}=\sum_{n=0}^{N_{k,j}}(a_{n}^{k,j}\cos nx+b_{n}^{k,j}\sin nx) $$

    の形の関数の一様収束極限として表します．これができることは講義でいずれ示します．このとき「対角線」を取った関数列 $(p_{k,k})_{k=1}^{\infty}$ は $f$ に各点収束します．これは

    $$ f(x)=\lim_{k\to \infty}\sum_{n=0}^{N_{k,k}}(a_{n}^{k,k}\cos nx+b_{n}^{k,k}\sin nx) $$

    が成り立つことを示しています．（少し議論すると）ここから (1) が従います．

  • 実は区間 $[-\pi,\pi]$ 上の関数で，有理数上だけで 1，他の点で 0 となるような関数 $f$ については (1) も成り立ちません．これは Baire（ベール）の証明した，ある定理を用いると分かります．